へいへいほー、へい･ほう・コン（５）

前号までのまとめ


○　ある数ａの平方根とは … ２乗するとａになる数

○　正の数ａの平方根(２乗するとａになる数)は、プラスとマイナスの２つがある。

○　正の数ａの平方根(２乗するとａになる数)は、＋√ａと－√ａ の２つがある。

○　ルートの中の数が何かの２乗になっていれば、√なしで表せる。

○　√の中の数が違うと、原則として、足し算・引き算は成り立たない。

○　√a×√b＝√ab　　　　　　√a÷√b＝√a÷b

　2×√3 の｢×｣を省略した 2√3 は、2√3＝２×√3＝√4×√3＝√12
と変形させ、ルートなしの数を、無理やりルートの中に押し込めることができる。

もしかしたら、この逆をやれば、ルートの中の数を外へ出して、○√□に変形できるのでは･･･？

この頃になると、男は、自らが生み出した｢平方根｣というものを、ある程度自在に操れるようになっていた。ルート付きの数すべてが｢○√□｣に変形できるわけではない。ある条件を満たしていなければ。

その条件とは、｢ルートの中の数が、何かの２乗と別の数との積に分解できること｣。例えば、

　√20＝√4×5＝√4×√5＝２×√5＝２√5 のように。

このように、ルートの中の数を外に出して、できるだけ簡単にする変形においては、ルートの中の数を
４，９、16、25、36 など、何かの２乗になっている数を使った掛け算に直せばいいわけだ。ここで注意しなければならないことは、前記の数は、できるだけ大きいものを用いるということ。例えば、

　√32＝√4×8＝√4×√8 ･･･ としたところで、あとに残る √8 をもう一度変形させなければならぬ。

このような面倒なことにならないためにも、３２を４のようなチンケな数で割らず、１６で豪快に割ることだ。すると、

　√32＝√16×2＝√16×√2＝４×√2＝４√2 とイッパツでクリアできる。


[練習２]　次の数を○√△の形に変形させて、√の中の数をできるだけ簡単にしなさい。

　（１）√8　　　（２）√27　　　（３）－√40　　　（４）√72　　　　


　一時は途中でさじを投げた、√の数どうしの足し算・引き算だが、上の変形を武器に、再度チャレンジしてみた。ルートの中の数が同じなら、足し算・引き算はできそうだという手ごたえは以前からあった。しかし、

　√3＋√3 は、それ自体計算できるわけではなく、３の平方根(正)が２つあるだけだから、
＝２√3 と簡単にするのが精一杯。それでも、何もできないよりはマシである。

根号を考え出す前は、平方根を文字で表してみようかと思っていたくらいだから、

　５√2－３√2　と　５χ－３χ　とは、同じようなものなのだ。


[練習３]　次の式を簡単にしなさい。

　（１）２√3＋５√3　　　（２）６√5－５√5　　　（３）３√2＋√2　　　（４）2√6－４√6


　　　

　√の中の数を外へ出す変形と、√の中の数が同じものの足し算・引き算を合わせて用いると、(ある特定の)√の中の数が違うもの同士でも、足し算・引き算が成り立つ。

　√50＋√32＝５√2＋４√2＝９√2　のように。

このような足し算・引き算は、√の中の数を外へ出して、○√△の「△」が同じ数になるようにしなければならない。


[練習４]　次の式を簡単にしなさい。

　（１）√8＋√18　　（２）√75－√12　　（３）－√27＋５√3　　（４）√24－√54



答え

[練習２]
　（１）√8＝√4×2＝√4×√2＝２×√2＝２√2
　（２）√27＝√9×3＝√9×√3＝３×√3＝３√3
　（３）－√40＝－√4×10＝－√4×√10＝－２×√10＝－２√10
　（４）√72＝√36×2＝√36×√2＝６×√2＝６√2


[練習３]
　（１）７√3　　　（２）６√5－５√5＝(６－５)√5＝１√5＝√5
　（３）３√2＋√2＝(３＋１)√2＝４√2
　（４）－２√6


[練習４]
　（１）√8＋√18＝２√2＋３√2＝５√2
　（２）√75－√12＝５√3－２√3＝３√3
　（３）－√27＋５√3＝－３√3＋５√3＝２√3
　（４）√24－√54＝２√6－３√6＝－√6